Con queste premesse, uso il modello calcolato dagli autori e reso disponibile nell'articolo; in particolare le colonne 8 e 9, visualizzate nella figura 2, la mia versione della figura 1, in cui al posto dello spettro wavelet uso lo spettro MEM che permette una migliore definizione dei periodi.
| Fig.2: Grafico delle colonne 8 e 9, il modello REHM, e il suo spettro MEM. |
Proprio il confronto tra la figura 1 e la figura 2 mi aveva all'inizio fatto immaginare che il change point, definito nell'anno 1709 circa, fosse poco accurato, dato che l'erosività mostra, in quell'anno, un andamento del tutto normale, senza evidenti salti o interruzioni come ad esempio succede in corrispondenza dell'anno 1950.
Per verificare la mia idea ho suddiviso i dati in bin di 20 anni e per ognuno ho calcolato la varianza: il risultato è in figura 3 che evidenzia che proprio attorno al 1709 (nel bin che contiene quell'anno) la varianza (il suo fit parabolico) raggiunge un minimo e quindi l'anno si pone come un momento di "rottura" dello schema valido fino a quel momento.
| Fig.3: Varianza dei dati di erosività raggruppati in bin di 20 anni. Le frecce blu indicano il bin che contiene l'anno 1709 e l'anno 1950. La linea tratteggiata è il polinomio di secondo grado (la parabola) che rappresenta i dati. Notare come il bin #11 che contiene il 1709 coincida con il minimo della curva. |
Il 1950 (bin #23), pur presentando una notevole diminuzione della varianza, non si differenzia da altre situazioni simili e quindi è un anno del tutto normale. Inutile dire che gli autori avevano ragione e io sbagliavo.
In definitiva, l'erosione del terreno dovuta alle piogge diminuisce negli ultimi 518 anni, ma la sua variabilità è in aumento dal 1709 (meglio dire dall'uscita dal minimo di Maunder [1645-1715]); questo significa che dalla ripesa dell'attività solare gli eventi possono produrre fenomeni molto intensi ma anche molto deboli, mentre prima gli eventi erano più simili tra loro.
La memoria lungo termine
In DLB20a si attribuisce la perdita (possibile) di alcuni picchi di
erositività anche alla presenza di memoria a lungo termine (o forte
autocorrelazione dei dati) e si scrive: "The estimated H exponent
(R/S method) equal to 0.84 ... reflects the existence of low-
and high-intensity storm clusters ...".
Nel 2018 (ad esempio in questo post) ho derivato per gli spettri la possibilità
di tenere conto della memoria a lungo termine e ho verificato che
l'applicazione della derivata prima (o delle differenze prime) mantiene
quasi inalterati i massimi spettrali, aumentando la potenza dei periodi
più brevi e diminuendo la potenza dei periodi più lunghi (in pratica è una
de-stagionalizzazione dei dati che abbassa il contributo dei fattori esterni
e amplifica il contributo delle ciclicità interne). Ho quindi applicato la
stessa tecnica ai dati di erosione da pioggia per osservare il comportamento
dello spettro di figura 2 (ma anche della wavelet di figura 1).
Per sapere quale è il peso della memoria a lungo termine,
calcolo l'esponente di Hurst in modo approssimato, utilizzando la formula 5
di Koutsoyiannis (2003) troncata al primo termine: ottengo in questo modo
Ho=0.855 per i dati osservati e Hd=0.697 per le derivate e così abbasso
l'esponente, non ancora ad un livello in cui la memoria a lungo termine non
conta più ma ad una situazione in cui pesa meno, come evidenziato dal
confronto tra le le funzioni di autocorrelazione (ACF) delle due serie nella
figura successiva.
| Fig.4: Confronto tra le ACF dell'erosività osservata e la della sua derivata prima. Il miglioramento si osserva nella minore larghezza della funzione della derivata, anche se non è molto elevato: i dati originali sembrano già sufficientemente casuali (poco autocorrelati). |
L'applicazione del metodo porta alla figura 5 dove si osservano la diversa struttura e il diverso spettro, con, come dicevo, un'amplificazione delle alte frequenze e la quasi scomparsa di quelle basse (il massimo a 65 anni viene indicato solo per confronto). Un confronto diretto tra i massimi spettrali è disponibile nel sito di supporto dove si vede che le differenze tra i periodi sono minime.
| Fig.5: Derivata prima numerica dei dati di figura 2 e suo spettro MEM |
Un forte impatto visivo si ha nel confronto tra gli spettri wavelet delle due serie: l'amplificazione dei periodi più brevi si osserva nella pendenza della banda (ora più frastagliata) colorata in rosso che mostra le potenze più elevate: rispetto allo spettro osservato, crescono le potenze dei periodi più corti di una quantità che, in media e in modo molto approssimativo, corrisponde a 10 anni di lunghezza del periodo su 500 anni di estensione temporale (0.02 anni/anno o ~ 7 giorni/anno).
Commenti conclusivi
Bibliografia