Introduzione alla probabilità

1. INTRODUZIONE


Esperimenti casuali

Il Calcolo delle Probabilità prende le mosse dalla definizione di esperimento casuale (o aleatorio): esso consiste in una generica operazione, detta anche prova, in grado di fornire un risultato non prevedibile con assoluta certezza. Il risultato sarà compreso in una serie di valori possibili e necessari: in alcuni casi (schema di casi) i risultati che formano l'insieme possibile saranno anche incompatibili.
Un esempio classico e quello dell'osservazione della faccia superiore di un dado dopo il lancio: il risultato sarà uno dei valori 1÷ 6, necessariamente, e uno esclude gli altri. Nello stesso tempo è impossibile predire con certezza quale numero uscirà.
  • Esistono però esperimenti casuali che non richiedono la partecipazione attiva. Un fenomeno naturale può essere considerato una prova casuale, fatte salve le condizioni:
    1. devono essere definibili i valori possibili
    2. non deve essere prevedibile il risultato della prova.
    Esempi:i mm di pioggia che cadranno in un certo posto; il sesso del nascituro; il numero di giorni di degenza in ospedale
  • Se la prova è già avvenuta o no, non importa: è sufficiente che il risultato non sia conosciuto a chi deve fare le previsioni in una situazione di incertezza.
    Il grado di incertezza, espresso in termini numerici, nel fare le previsioni sul risultato, prende il nome di probabilità.

    Definizioni di probabilità

    Il concetto di probabilità è ormai entrato nella "coscienza collettiva" in molti campi; malgrado questo, però, non è facile darne una definizione operativa. Le tre principali definizioni sono:

    Probabilità classica
    La probabilità è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e la totalità delle prove, ammesso che i risultati siano ugualmente possibili.
    Nel lancio del dado è naturale attribuire una probabilità pari ad 1/6 ad ogni faccia, a meno che il dado non sia truccato. Questa definizione è infatti applicata e derivata dal gioco d'azzardo e in generale quando esista uno schema di casi.
    Una delle critiche viene dall'uso del concetto "ugualmente possibile", sinonimo di "ugualmente probabile", il che porta ad una circolarità della definizione.
    In ogni caso questa definizione non è applicabile ai casi in cui "ugualmente possibile" non funziona. Atleti in gara, morte tra 40 e 60 anni.

    Probabilità frequentista (frequentizia)
    La constatazione empirica che, ripetendo molte volte e nelle stesse condizioni lo stesso esperimento, spesso la frequenza relativa (percentuale) tende a stabilizzarsi intorno ad un valore costante, quando il numero delle prove cresce, conduce alla definizione "frequentista" di probabilità:

    lim (n--> infinito) m/n

    essendo m il numero di volte in cui si è presentato un risultato favorevole e n la totalità delle prove effettuate.
    Con questa definizione,ad esempio, si può conoscere la probabilità che un individuo di 40 anni muoia prima dei 60: si osserva un insieme grande (100 000 ?) di individui di 40 anni e si misura quanti di loro muoiono entro i 60, magari divisi per classi di età. I risultati si applicano alla totalità della popolazione.
    È questo il sistema usato dalle assicurazioni, le quali utilizzano le anagrafi dei comuni. Le critiche:
    1. Stesse condizioni: difficili da ottenere. Nel caso dei morti tra 40 e 60 anni sono impossibili perchè gli individui sono diversi.
    2. Non sempre si ha la possibilità di ripetere molte volte la prova. Es.: la probabilità che un aereo da guerra abbatta un nemico e quella di un incidente nucleare.
    3. È impossibile trovare la probabilità di un evento non ancora accaduto. Es.: lo scoppio della III guerra mondiale.

    Probabilità soggettiva
    Un individuo, in base a certe informazioni e alla sua capacità di elaborarle, ha un certo grado di fiducia nel verificarsi di un evento. Questo grado di fiducia è la probabilità soggettiva. È possibile quindi assegnare una probabilità anche ad eventi mai accaduti.
    Si basa sul concetto di scommessa per cui, definire la probabilità del 50% di un certo risultato, significa essere disposti a pagara mezza lira per ricevere una lira se il risultato si verifica. Allora i valori sono sicuramente soggettivi (cambiano da persona a persona), ma saranno ragionevoli.
    La difficoltà di questa definizione è che impedisce obbligatoriamente di "imparare" a misurare la probabilità in modo univoco.

  • Queste definizioni di probabilità sono molto diverse e la scelta dell'una o dell'altra è ancora aperta al dibattito scientifico.


    Il Calcolo delle Probabilità, tuttavia, ha superato questo dibattito con l'impostazione assiomatica, sviluppandosi in modo astratto, come una teoria matematica. I concetti di esperimento e probabilità non sono definiti (sono considerati primitivi) e si fissano gli assiomi, un insieme di regole formali, dalle quali si costruisce la teoria e alle quali deve sottostare una valutazione di probabilità.